平凡社 世界大百科事典

球関数

数理物理学における微分方程式の解として登場する特殊な関数を総称して特殊関数と呼ぶが,なかでも球関数は簡単な式で表され,かつ種々の解析的な特性をもっている重要な例である。それはもっとも基本的な2階微分作用素であるラプラシアンΔに関係する。3変数xyzのときは,

 であり,Δuxyz)=0となる関数uを調和関数という。適当な領域で温度分布uを考えたとき,定常状態ならそれは調和関数である。いま全空間で考えることとし,xyzの多項式でかつ調和関数であるものを系統的にさがし出そう。n次斉次多項式である調和関数をunとかく。このunを極座標xrsinθcosφ,yrsinθsinφ,zrcosθ(r>0,0≦θ≦π,0≦φ<2π)を用いて,

 unxyz)=rnYn(θ,φ)

とかいたとき,Ynn次球関数である。それは球面上の関数とみることができ,各n≧0について2n+1個の一次独立なn次球関数が存在する。それらはまた球面上のラプラシアン,

の固有関数として,

 Δ0Yn(θ,φ)=-nn+1)Yn(θ,φ)

のように特徴づけられる。

 ルジャンドル多項式Pnx)(n≧0,|x|≦1)も特殊関数の一種で,次の式で定められる。

を満たす。

 さらにこのPnx)に従属した関数として,陪関数Pnmx)(ただしPn0x)=Pnx))がある。

 n次球関数全体のなす2n+1次元ベクトル空間の基底として,上記Pnm(cosθ)sinmφ(0<mn)をとることができる。これらは,曲面積要素dσ=sinθdθdφについて互いに直交(積のdσによる積分が0)する。

 さらに球面上のdσについて2乗可積分な関数f(θ,φ)は,球関数によって,

のように直交展開が可能である。これらの事実は,球についてディリクレ問題やノイマン問題の解法に有効な手段となり,また回転群のユニタリ表現を構成するときの基礎概念を与え,量子力学においては中心力場の電子に対するシュレーディンガー方程式の取扱いに現れるなど広い応用がある。

飛田 武幸