平凡社 世界大百科事典

球面三角法

平面図形の研究に三角関数が応用されるが,球面上の図形についても同様である。前者を平面三角法といい,後者を球面三角法という。三角法は歴史的には天文学への応用から起こったため,平面三角法より球面三角法が先行した。その創始者はギリシアのヒッパルコスHipparchos(前150ころ)といわれており,メネラオスMenelaos(100ころ)もその発展におおいに寄与した。まず,球面三角形について述べよう。球面をその中心を通る平面で切ったときの切口の円を大円great circleといい,球面の一つの直径の両端の2点を対心点antipodal pointという。球面上の2点A,Bが対心点でなければ,A,Bを通る大円の周上においてAをBに結ぶ劣弧を

の長さをそれぞれabcで表し,頂角A,B,Cの大きさを弧度法で測った量を同じくABCで表す。球面の半径がrならば,a/rb/rc/rは0とπの間の数で,それらの和は2πより小さい。ABCはπより小さく,π<ABC<3πである。ABC-πを球面三角形ABCの球面過剰という。球面三角形ABCの面積は(ABC-π)r2で,3頂角によって定まる。したがって相似な球面三角形は合同となるが,球面三角形についても平面三角形の場合と同様の合同定理が成り立つので,球面三角形の3辺と3頂角の中の三つを与えれば残りのものが定まる。この求め方には3辺と3頂角の三角関数の間に成り立つ公式が用いられる。次にこれらの公式のおもなものをあげる。記述を簡単にするため以下では球面の半径は1とする。半径rの球面の場合にはabca/rb/rc/rでおきかえればよい。まず,頂角Cが直角である球面三角形ABCでは次の公式が成り立つ。sin A=sin a/sin c,sin B=sin b/sin c,cos A=tan b/tan c,cos B=tan a/tan c,tan A=tan a/sin b,tan B=tan b/sin a,sin A=cos B/cos b,sin B=cos A/cos a,cos c=cos a cos b,cos c=cot A cot B。一般の球面三角形ABCについては,sin A:sin a=sin B:sin b=sin C:sin c(正弦公式)およびcos a=cos b cos c+sin b sin c cos A,cos b=cos c cos a+sin c sin a cos B,cos c=cos a cos a cos b+sin a sin b cos B,cos c=cos a cos a cos b+sin a sin b cos C(余弦公式)

が基本的である。

 これらの公式と三角関数の性質を用いれば,さらに多くの公式が求められる。例えば,

および同様の2式を用いればよい。球面三角法は航海術や天文学に広範に応用されている。

中岡 稔
図-球面三角法
図-球面三角法