平凡社 世界大百科事典

定常過程

時間の進むにつれて変化していく偶然現象を記述する確率過程の中で,その同時分布が時間のずれに対して不変なものを定常過程という。その例としてよく知られているものに太陽の黒点の総量がある。t年における総量をXt)とする。これに対し,独立で同じ分布をもつ確率変数の列{Yt)}を用いて,方程式Xt)-kXt-1)+Xt-2)=Yt)(|k|<2)を得る試みがあったが,このように定差をとって独立な列になおす方法は定常過程の研究の一手法となった。そのように表される定常過程は自己回帰過程と呼ばれる。もし{Xt)}が自己回帰過程なら{Yt)}を用いた移動平均表現,

が得られる。一般の定常過程は,任意の有限個の時点t1t2,……,tnに対し(Xt1),Xt2),……,Xtn))の分布と時間をhだけずらしたときの(Xt1h),Xt2h),……,Xtnh))の分布とが同じであるような{Xt)}である。そのとき,平均値EXt))は一定値mをとり,共分散E{(Xth)-m)(Xt)-m)}はhのみの関数γ(h)となる。後者は,

       (dFは[-π,π]上の測度) 

とスペクトル分解される。dFをスペクトル測度という。dF(λ)=f(λ)dλとかけて,

ならXt)は移動平均表現をもち,現時点までの観測値の線形関数を用いて未来の値をよりよく推定する線形予報の問題は容易に解決される。Xt)の平均値が一定で,共分散が時間の差のみの関数であることを条件とする弱定常過程があるが,線形予報の問題は定常過程とまったく同様に扱われる。またtを連続変数にしたときの定常過程に対しても,議論は並行的に進められる。

飛田 武幸