平凡社 世界大百科事典

確率過程

時間の経過とともに変化する偶然現象の数学的模型である。偶然量の時刻tにおける値を確率変数としてXt(ω)(ωは根元事象)で表し,その集り{Xt(ω)}を確率過程という。統計学ではこれを時系列ともいう。ωを固定すると,Xt(ω)はtだけの関数になるが,これを見本関数とか標本関数などという。

 例1 硬貨を次々と投げて,表が出たら1だけ右に進み,裏なら1だけ左に進む直線上の不規則運動をランダムウォークという。t回投げたとき,Xt(ω)=(表の出た回数)-(裏の出た回数)とおき,またX0=0とする。この場合ωは一連の試行に対応する。確率過程{Xt(ω)(t=0,1,2,……)}は原点から出発するランダムウォークの模型である。

 例2 確率過程{Xt(ω)(t≧0)}があって,X0(ω)=0であり,tsts)を任意にとるとき,Xt(ω)-Xs(ω)の分布がポアソン分布で,PXt(ω)-Xs(ω)=k}=eλts⁾λktsk/k!(k=0,1,2,……)となるならば,{Xt(ω)}をポアソン過程という。時刻0からtまでの間に起きるある種の交通事故の件数をXt(ω)とするとき,{Xt(ω)}がポアソン過程とみなされる場合がある。確率過程のうち,ガウス過程,定常過程,加法過程,マルコフ過程,拡散過程,マルチンゲールなどはもっともよく研究されている。

ガウス過程

Xt(ω)}を確率過程とする。任意にとったt1t2,……,tnに対して,(Xt1(ω),Xt2(ω),……,Xtn(ω))の結合分布が多次元正規分布であるとき,{Xt(ω)}をガウス過程という。その確率法則は,平均値mt)=EXt(ω)}と共分散関数ρ(ts)=E{(Xt(ω)-mt))(Xs(ω)-ms))}とで決まる。mt)=0,ρ(ts)=min{ts}(=tsの小さいほう)であるガウス過程{Xt(ω)(t≧0)}で見本関数が連続であるものをウィーナー過程,またはブラウン運動という。これはR.ブラウンが観察した花粉の微粒子の不規則運動や,A.アインシュタインが研究した分子運動の模型を,N.ウィーナーが数学的に厳密にしたもので,ウィーナーやP.レビーの詳しい研究がある。

定常過程

確率過程{Xt(ω)(-∞<t<∞)}について,t1t2,……,tnhとを任意にとるとき,Xt1+h(ω),Xt2+h(ω),……,Xtn+h(ω))の結合分布がhに無関係であるとき,{Xt(ω)}を定常過程という。これに対し,平均値mt)が定数で,共分散関数ρ(ts)がtsだけの関数ρ(ts)である確率過程を弱定常過程と呼ぶ。ρ(t)はボホナーの定理により正測度μのフーリエ変換として,

と表される(スペクトル分解)。ヒンチンA.Y.Khinchin(1894-1959)はこの分解を使って定常過程の諸性質を研究した。弱定常過程は線形予測理論で重要な役割を果たす確率過程である。

マルコフ過程

確率過程{Xt(ω)}において,時刻tでの値Xt(ω)を知れば,t以前の結果とt以後の事象とが互いに独立になるとき,{Xt(ω)}をマルコフ過程という。ランダムウォーク,ポアソン過程,ウィーナー過程はすべてマルコフ過程で解析学と深い関連をもち,応用上も重要である。

野本 久夫