平凡社 世界大百科事典

曲面

曲面は曲線が空間内を動いたときにできる図形と考えられる。したがって,空間内の曲線とは一つの媒介変数tを用いてxft),ygt),zht)と表される座標(xyz)をもつ点全体のつくる図形であると定義するのと同様に,曲面とは,二つの媒介変数uvを用いてxfuv),yguv),zhuv)と表される座標(xyz)をもつ点全体のつくる図形である,と定義する。この定義式からuvを消去すればFxyz)=0のような方程式が得られ,これは曲面上の点の座標の満たす関係式となる。したがって,曲面とはFxyz)=0を満たす(xyz)を座標とする点のつくる図形であるということもできる。例えば,aを正の定数とするとき,xa cos u cos vya cos u sin vza sin uおよびx2y2z2a2は,原点が中心の半径aの球面で,xau cos vyau sin vzuおよびx2y2a2z2は原点を頂点とする円錐面である(図1)。abcdを定数とするとき,axbyczd=0は平面であるから,上の定義によれば平面も一つの曲面である。通俗には曲面と平面を区別するが,数学では平面を曲面の中に含め,この意味で数学における曲面は通常単に面と呼んでいるものである。Fxyz)がxyzの多項式のときFxyz)=0で定義される曲面を代数曲面といい,多項式の次数がnのときこの曲面をn次曲面という。一次曲面は平面にほかならない。曲面上のすべての点について,その点の十分近くの点だけを考えれば円の内部の点との間に連続的な1対1対応がつくとき,この曲面を二次元多様体という。とくにコンパクトな二次元多様体を閉曲面という。球面や二次曲面

中岡 稔
図1~図3
図1~図3