平凡社 世界大百科事典

面積分

xyz空間で滑らかな曲面Sが媒介変数uvによりxxuv),yyuv),zzuv)(α≦u≦β,γ≦v≦δ)と表されているとする。ここで,

 E=(xu2+(yu2+(zu2

 Fxuxvyuyvzuzv

 G=(xv2+(yv2+(zv2

 (ただし,例えばxuxvは∂x/∂u,∂x/∂vを表す)

とおくと,曲面Sの上での面積要素は

で与えられる。fxyz)をS上で定義された連続関数とし,

 guv)≡fxuv),yuv),

  zuv))

とおく。このとき,

で与えられる。

伊藤 清三