23人が集まった部屋であなたは「同じ誕生日の人がいるか賭けをしよう」と提案された。1年はほぼ365日。
だが、それは偶然ではない。実は23人いれば、同じ誕生日の人がいる確率は50％を超えるのだ。それどころか75人なら99.9%だ。
この一般的な直感に反する事実を「誕生日のパラドックス」という。 日常の感覚では理解しがたいかもしれないが、確率的には正しい。数学の裏側を知れば、きっともっと楽しめるはずだ。
23人集まれば誕生日がかぶる確率は50.73%
パラドックスといっても、誕生日のパラドックスはその理論に矛盾があるわけではない。人間の直感的にはちょっと信じられない確率であることからつけられた名称だ。
1年はほぼ365日ある。だから同じ誕生日の人がいる確率が50％を超えるには、1年の半分に相当する、およそ183人が必要では？これが直感的な解釈だ。
ところがほんの23人で半々の確率になるのだから、まったくもって直感の逆をいっている。
このように直感に反する結果になる理由の1つは、冒頭のような質問をされたとき、「自分の誕生日と同じ人はいるだろうか」と自分中心に考えがちなことだろう。
正しい答えを出すには、自分だけなく、そこにいる人全員の誕生日の組み合わせについても考えねばならない。それが確率のマジックのような結果をもたらす。
AさんとBさんの2人しかいなければ、組み合わせはAとBの誕生日だけ。この組み合わせが同じ誕生日である確率は0.27%でしなかい。
ここにCさんが加わって3人になれば、組み合わせはAとB、AとC、BとCの3通り。そのうちいずれかの誕生日がかぶる確率は0.82%で、ほんの少し跳ね上がる。
そして23人いる場合の組み合わせは253通り。このとき1組でも誕生日がかぶっていればいいのだから、ほぼ半分の確率で誕生日がかぶる人が出てくるも素直に納得できるだろう。その確率は50.73%である。
誕生日のパラドックスを解く方法
この数字を具体的に導くには、同じ誕生日の人がいる確率よりも、いない確率を考えた方がわかりやすい。
たとえば、AさんとBさんの2人しかいないとき、誕生日が”かぶらない”確率を考えてみよう。
365日のうち1日はAさんの誕生日なので、Bさんの誕生日が残りの364日のいずれかならば、誕生日はかぶらない。
したがって2人の場合、同じ誕生日の人がいない確率は「364/365 = 99.73%」となる。
ここに3人目のCさんが加わったとしよう。このときCさんの誕生日がAさんとBさんの誕生日と重ならない確率は「363/365」となる。
よってAさんとBさんの誕生日がかぶらず、かつCさんの誕生日もかぶらない確率、つまり3人の誕生日がかぶらない確率は「364/365 x 363/365 = 99.18%」となる。
あとは1人増えるたびに同様の計算を繰り返し、「364/365 x 363/365 x 362/365 x… 343/365」と23人分確かめてみればいい。
すると23人いるとき、同じ誕生日の人がいない確率は「49.3%」となる。逆に言えば、23人いるとき、同じ誕生日の人がいる確率は50.73%ということだ。
なぜ直感がずれるのか？
なおこの確率は、人数が増えるにつれて急激に上昇する。
たとえば、30人なら、同じ誕生日の人がいる確率は70%になる。さらに35人で81%、41人で90%、50人で97%、60人で99.4%といった具合だ。
それ以降は、もはやいない確率で考えないとわからない。70人なら同じ誕生日の人がいない確率は1/1000未満、100人で1/300万未満、200人ならなんと1/50壌（0が29個）だ。
人間がこうした確率になかなか気付かないのは、私たちの脳が直線的な関係に注目しようとすることが関係している。
数が増えるにつれて、指数関数的に増加するものを把握するのが苦手なのだ。そのため同じ誕生日の人がいる確率を小さく見積りがちになる。
そんなわけで、次に23人以上が集まることがあったら、ぜひ賭けをしてみてほしい。勝利の女神はきっとあなたに微笑むはずだ。
References: Birthday problem［https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem］ / The Birthday Paradox: Why a Room of Only 23 Strangers Has a 50/50 Chance of a Shared Birthday［https://www.zmescience.com/feature-post/natural-sciences/mathematics/the-birthday-paradox-why-a-room-of-only-23-strangers-has-a-50-50-chance-of-a-shared-birthday/］
