現在22歳の松木は2024年7月にFC東京からサウサンプトンに完全移籍し、そのまま2024-25シーズンは姉妹クラブであるギョズテペにレンタル移籍。
9日に行われたチャンピオンシップ(イングランド2部リーグ)開幕節のレクサム戦(○2-1)ではベンチ入りしたものの、出場機会はなかったなか、12日に行われたカラバオ・カップ1回戦のノーサンプトン・タウン(イングランド3部)戦もベンチスタートとなったが、63分から途中出場し、サウサンプトンでの公式戦デビューを飾った。
チームが1-0で勝利して2回戦進出を決めた試合後、イギリスメディア『フットボール・インサイダー』はこの試合の選手採点を発表。松木には「6」点と及第点がつけられたものの、「粘り強いプレーを見せたが、(ウィル・)スティル監督に印象を残すようなプレーは見せられなかった」と評価されている。
また、この試合にフル出場したサウサンプトンに所属する日本代表DF菅原由勢には「7」点がつけられ、「前半、ゴールポスト付近で絶好のチャンスを逃したが、ウイングバックはペナルティエリア内で倒されたと抗議していた。後半には2点目となるゴールを決めそうになったが、強烈なシュートはポストに弾かれてしまった」と綴られている。
【ハイライト動画】ノーサンプトン・タウンvsサウサンプトン